一種用于有損耗慢波結構有限元本征分析的混合多波前塊ILU-p型多重網(wǎng)格預處理

　　提出了一種全新的混合多波前塊ILU-p型多重網(wǎng)格預處理，用于在行波管有損耗慢波結構的三維有限元本征分析中產(chǎn)生的復數不對稱(chēng)的大型稀疏線(xiàn)性方程組的迭代求解。本文提出并采用了改進(jìn)的多波前法和超塊不完全分解算法，用以提升該預處理的整體性能。這種預處理技術(shù)的運用，使得有損耗慢波結構的三維有限元本征分析更加精確、快速。在大量慢波結構的仿真中，采用這種預處理技術(shù)的有限元本征分析算法體現出了高效的計算和內存性能，與商業(yè)軟件HFSS相比具有明顯優(yōu)勢，這對于設計出高性能行波管慢波結構具有重要意義。

　　行波管是一類(lèi)重要的微波/毫米波電真空器件，在衛星通信、導航、雷達和電子對抗等領(lǐng)域具有不可替代的作用。作為核心部件，慢波結構的性能將直接影響行波管的整管性能。利用計算電磁學(xué)方法對慢波結構進(jìn)行三維本征分析，是最有效的慢波結構設計方法之一。然而慢波結構通常具有非常復雜的幾何結構、很高的工作頻率和很寬的工作帶寬，采用通用商業(yè)軟件對慢波結構進(jìn)行三維本征分析的計算性能并不令人滿(mǎn)意，特別是在個(gè)人計算機上，商業(yè)軟件通常很難對慢波結構進(jìn)行高精度、多參量?jì)?yōu)化設計仿真。因此，專(zhuān)門(mén)針對行波管慢波結構，研究更加精確、快速、穩定的三維本征分析算法是非常有意義的。

　　我們在前期理論研究的基礎上開(kāi)發(fā)了基于有限元法的全三維高頻電路仿真軟件HFCS，大量的測試結果表明，HFCS在慢波結構本征分析方面和商業(yè)軟件CST MWS和HFSS相比，具有相當的計算精度、卻有著(zhù)更高的計算性能。行波管慢波結構的設計在沒(méi)有考慮損耗時(shí)，采用傳統的指定相移法時(shí)最后需要求解的廣義本征值方程是線(xiàn)性的。

　　但隨著(zhù)行波管工作頻率的不斷提高，慢波結構中的高頻損耗會(huì )顯著(zhù)增加，要設計出高性能的行波管就必須考慮高頻損耗。此時(shí)需要求解的廣義本征值方程是非線(xiàn)性的，即使采用新的指定頻率法可以將其轉換成線(xiàn)性本征值方程，該本征值方程中的系數矩陣也是復數不對稱(chēng)并且高度病態(tài)的。該本征值方程的求解非常消耗時(shí)間和內存，因此為該本征值方程的迭代求解尋找一種高效的預處理方法是提升慢波結構有損耗本征分析整體效率的關(guān)鍵。真空技術(shù)網(wǎng)(http://likelearn.cn/)認為“一種用于有損耗慢波結構有限元本征分析的混合多波前塊ILU-p型多重網(wǎng)格預處理”方法能顯著(zhù)地降低內存使用和時(shí)間消耗，有重要的理論研究和工程應用價(jià)值。

　　多波前法憑借其高效的計算性能和高度的并行性能，已被廣泛應用于大型稀疏線(xiàn)性方程組的直接求解。然而，目前國際上對多波前不完全分解的研究還較少，文獻首次提出基于填充級數的多波前ILU預處理，證明了多波前法用于不完全分解的可能性;文獻進(jìn)一步提出了多波前不完全Cholesky(IC)預處理，雖然內存占用稍高于傳統的IC預處理，但是其速度優(yōu)勢明顯;文獻將多波前法與多級塊ILU結合起來(lái)，獲得了較為高效的預處理。通過(guò)以上這些研究，可以預見(jiàn)采用多波前法能夠形成一種高效的預處理。為了提升慢波結構有損耗本征分析中產(chǎn)生的廣義本征值方程的求解效率，本文在前期研究的基礎上，提出了混合多波前塊ILU-p型多重網(wǎng)格(MFBILU-PMP)預處理。

　　1、p型多重網(wǎng)格預處理

　　對于病態(tài)的復數不對稱(chēng)系數矩陣，隨著(zhù)其維數的不斷增大，基于各種常規預處理的迭代法的收斂速度會(huì )迅速降低甚至停滯。其本質(zhì)原因是在迭代開(kāi)始的前幾步中，迭代誤差的高頻部分能夠迅速地衰減掉，而其低頻部分卻衰減得很慢。多重網(wǎng)格法利用粗細兩套網(wǎng)格進(jìn)行迭代求解，在細網(wǎng)格上的迭代誤差的高頻部分迅速衰減后，將細網(wǎng)格上的迭代誤差的低頻部分投影到粗網(wǎng)格上，這些細網(wǎng)格上的迭代誤差的低頻部分在粗網(wǎng)格上表現為高頻部分，因此能夠快速地衰減。當采用采用二階疊成基函數時(shí)，系數矩陣P 可根據基函數的階數被劃分為如下2×2塊矩陣

　　式中P11和P22分別為P 矩陣中一階基函數和二階基函數高階部分對應的子矩陣，而P12和P21則表示一階基函數和二階基函數高階部分之間的耦合矩陣。若用近似shur分解逼近分塊矩陣P 的逆矩陣，則可構造出如下p型多重網(wǎng)格預處理(PMP)

　　式中，子矩陣P11和P22的逆矩陣可用ILU分解來(lái)近似獲得。

　　4、結論

　　本文提出了一種全新的MFBILU-PMP預處理，用于在行波管有損耗的慢波結構的三維有限元本征分析中產(chǎn)生的復數不對稱(chēng)的大型稀疏線(xiàn)性方程組的迭代求解。MFBILU-PMP中采用了本文提出的改進(jìn)的多波前法和超塊不完全分解算法，其計算和內存性能得到了大幅提升。數值實(shí)驗表明，運用這種全新的預處理方法，可以大幅提升有損耗的復雜慢波結構的有限元本征分析效率，這對于設計出高性能的行波管具有重要意義。